透視法的數學秘密：畫家如何發明幾何學的新分支秘密｜文藝復興的數位重生 #04
當視覺成為可計算的科學
1413年，佛羅倫斯洗禮堂前。
一個建築師站在教堂門口，手裡拿著一塊木板和一面鏡子。木板上畫著洗禮堂的圖像。他把木板舉到眼前，透過木板上的小孔，看著鏡子裡的反射。
路人停下來看這個奇怪的男人在做什麼。
然後，魔法發生了。
當他移開鏡子，露出木板上的畫，旁觀者驚呆了：畫裡的洗禮堂，和真實的洗禮堂幾乎無法分辨。
透視、深度、空間——這些在真實世界中理所當然的東西，第一次被完美地捕捉在平面上。
這個建築師叫菲利波·布魯內萊斯基(Filippo Brunelleschi)，他剛剛展示了人類歷史上第一個數學化的透視法實驗。
在此之前，繪畫是平面的。人物像貼紙一樣浮在金色背景上，遠近沒有區別，空間沒有深度。
在此之後，繪畫變成了「窗戶」——你透過畫框，彷彿能走進另一個世界。
這不只是藝術技巧的進步，這是人類視覺認知的革命。
在這篇文章裡，我會用Python實現透視法的數學原理：如何把3D世界投影到2D平面。我會分析文藝復興三大透視傑作的幾何結構，並探討一個深刻的問題：透視法為什麼不只改變了藝術，也改變了科學？
更重要的是：600年後，這個公式驅動著整個數位視覺產業——從遊戲、電影到VR。
準備好進入三維空間了嗎？
中世紀的平面世界：為什麼沒有透視？
要理解透視法的革命性，我們必須先看看沒有透視法的世界長什麼樣。
拜占庭風格：象徵 > 真實
打開任何中世紀的宗教畫，你會看到：
- 人物大小取決於重要性：基督比門徒大，門徒比平民大，跟實際距離無關
- 沒有深度：所有東西都在同一個平面上，像剪紙拼貼
- 金色背景：不是真實的天空或牆壁，而是象徵「神聖空間」
- 正面為主：人物很少側身，因為側面「不完整」
這不是因為畫家不會畫。
這是刻意的選擇。中世紀藝術的目的不是「再現真實」，而是「傳達真理」。
一幅聖母畫不是要讓你覺得「我好像看到真的聖母」，而是要讓你感受「這是神聖的」。象徵比寫實更重要。
為什麼改變了？
14世紀，歐洲的思想開始轉變：
- 人文主義興起：人類經驗開始被重視，不只是神學教條
- 自然觀察：學者開始研究光學、幾何學（從阿拉伯世界重新引入）
- 商業需求：富商想要能炫耀財富的「真實」肖像和場景
- 競爭壓力：藝術家之間競爭誰畫得更「像」
但最關鍵的是：有人發現了數學規律。
布魯內萊斯基的實驗：第一個科學化的透視法
布魯內萊斯基不只是建築師，他也是工程師、數學家、金匠。他最著名的成就是設計了佛羅倫斯大教堂的圓頂——一個工程奇蹟。
但在1413年，他做了一個改變藝術史的實驗。
實驗設置
材料：
- 一塊30×30公分的木板
- 一面鏡子
- 洗禮堂（實驗對象）
步驟：
- 站在大教堂門口，面對洗禮堂
- 在木板上鑽一個小孔（約1公分直徑）
- 在木板正面畫洗禮堂，用透視法
- 把木板舉到眼前，小孔對著眼睛
- 在木板背面放一面鏡子，看著鏡子裡的畫
- 移開鏡子，直接看洗禮堂
結果：
旁觀者無法分辨鏡子裡的畫和真實的洗禮堂！
為什麼這是科學革命？
布魯內萊斯基證明了：視覺可以被數學化。
他發現了幾個關鍵規律：
- 所有平行線會聚到一個點（消失點，Vanishing Point）
- 這個點在視平線上（Horizon Line）
- 物體的大小隨距離縮小，遵循精確的比例
- 這些規律可以用幾何學計算
這是人類第一次用數學公式描述視覺經驗。
在此之前，繪畫是手藝。
在此之後，繪畫成為科學。
阿爾貝蒂的公式：第一本透視法教科書
布魯內萊斯基做了實驗，但沒寫下公式。
真正把透視法系統化的是萊昂·巴蒂斯塔·阿爾貝蒂(Leon Battista Alberti)。
1435年，他出版了《論繪畫》(De pictura)——人類史上第一本透視法教科書。
阿爾貝蒂的核心洞察
繪畫是一扇窗戶。
想像你站在窗前看外面的世界。窗戶玻璃就是畫布。你在玻璃上描繪你看到的景物，就得到一幅透視畫。
數學關鍵：
如果一個物體距離你的眼睛d米遠，它在畫布上的大小是：
這就是透視投影公式。
三種透視法
阿爾貝蒂區分了三種透視法：
一點透視法（One-Point Perspective）
- 所有垂直於畫面的線條會聚到一個消失點
- 適合：室內場景、走廊、道路
- 經典作品：達文西《最後的晚餐》
兩點透視法（Two-Point Perspective）
- 兩組平行線會聚到兩個消失點
- 適合：建築外觀、街角
- 經典作品：佩魯吉諾《聖彼得傳鑰匙》
三點透視法（Three-Point Perspective）
- 三組平行線會聚到三個消失點
- 適合：仰視高樓、俯視場景
- 現代應用：漫畫、概念藝術
